Важное значение в описании и идентификации кристаллов имеют их оптические свойства. Когда свет падает на прозрачный кристалл, он частично отражается, а частично проходит внутрь кристалла. Свет, отражающийся от кристалла, придает ему блеск и цвет, а свет, проходящий внутрь кристалла, создает эффекты, которые определяются его оптическими свойствами.

Показатель преломления. При переходе наклонного луча света из воздуха в кристалл его скорость распространения уменьшается; падающий луч отклоняется, или преломляется. Чем больше плотность кристалла и чем больше угол падения луча (i), тем больше угол преломления (r). Отношение sin i к sin r есть величина постоянная. Это обычно записывают в виде равенства sin i/sin r = n; константа n называется показателем преломления. Это самая важная из оптических характеристик кристалла, и ее можно очень точно измерить. См. также ОПТИКА
.

С позиций оптики все прозрачные вещества можно разделить на две группы: изотропные и анизотропные. К изотропным относятся кристаллы кубической системы и некристаллические вещества, например стекло. В изотропных веществах свет распространяется во всех направлениях с одинаковой скоростью, и поэтому такие вещества характеризуются одним показателем преломления. Группу анизотропных веществ составляют кристаллы всех других кристаллографических систем. В веществах этой группы скорость света, а следовательно, и показатель преломления непрерывно изменяются при переходе от одного кристаллографического направления к другому. Когда свет входит в анизотропный кристалл, он разделяется на два луча, колеблющихся под прямым углом друг к другу и распространяющихся с разными скоростями. Такое явление называется двойным лучепреломлением; всякий анизотропный кристалл характеризуется двумя показателями преломления. Для гексагональных и тетрагональных кристаллов указывают максимальный и минимальный, т.е. "главные" показатели преломления. Один из этих главных показателей преломления соответствует лучу света, колеблющемуся параллельно оси c, а с другой - лучу света, колеблющемуся под прямым углом к этой оси. В орторомбических, моноклинных и триклинных кристаллах имеются три главных показателя преломления: максимальный, минимальный и промежуточный, определяемые лучами света, колеблющимися в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Поскольку показатели преломления зависят от химического состава и строения материала, они являются характеристическими величинами для каждого кристаллического твердого вещества, и их измерение служит эффективным методом его идентификации. Пользуясь простым рефрактометром, ювелир или специалист по драгоценным камням может измерить показатель преломления драгоценного камня, не вынимая его из оправы. С помощью поляризационного микроскопа минералог без особого труда определяет тип минерала, измеряя его показатели преломления и другие оптические характеристики на мелких крупинках. См. также ДРАГОЦЕННЫЕ КАМНИ
.

Плеохроизм. В анизотропных кристаллах свет, колеблющийся в разных кристаллографических направлениях, может поглощаться по-разному. Одно из возможных следствий такого явления, называемого плеохроизмом, - изменение цвета кристалла при изменении направления колебаний. В других кристаллах свет, колеблющийся в одном кристаллографическом направлении, может распространяться почти без потерь интенсивности, а под прямым углом к нему почти полностью поглощаться. На различиях в поглощении света тонкими ориентированными кристаллами основано действие таких поляризационных светофильтров, как поляроид.

методы исследования структуры вещества по распределению в пространстве и интенсивностям рассеянного на анализируемом объекте рентгеновского излучения. Р. с. а. наряду с нейтронографией (См. Нейтронография) и электронографией (См. Электронография) является дифракционным структурным методом; в его основе лежит взаимодействие рентгеновского излучения с электронами вещества, в результате которого возникает Дифракция рентгеновских лучей. Дифракционная картина зависит от длины волны используемых рентгеновских лучей (См. Рентгеновские лучи) и строения объекта. Для исследования атомной структуры применяют излучение с длиной волны Рентгеновский структурный анализ1 Å, т. е. порядка размеров атомов. Методами Р. с. а. изучают металлы, сплавы, минералы, неорганические и органические соединения, полимеры, аморфные материалы, жидкости и газы, молекулы белков, нуклеиновых кислот и т.д. Наиболее успешно Р. с. а. применяют для установления атомной структуры кристаллических тел. Это обусловлено тем, что Кристаллы обладают строгой периодичностью строения и представляют собой созданную самой природой дифракционную решётку для рентгеновских лучей.

Историческая справка. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах была открыта в 1912 немецкими физиками М. Лауэ, В. Фридрихом и П. Книппингом. Направив узкий пучок рентгеновских лучей на неподвижный кристалл, они зарегистрировали на помещенной за кристаллом фотопластинке дифракционную картину, которая состояла из большого числа закономерно расположенных пятен. Каждое пятно - след дифракционного луча, рассеянного кристаллом. Рентгенограмма, полученная таким методом, носит название лауэграммы (См. Лауэграмма) (рис. 1).

Разработанная Лауэ теория дифракции рентгеновских лучей на кристаллах позволила связать длину волны λ излучения, параметры элементарной ячейки кристалла а, b, с (см. Кристаллическая решётка), углы падающего (α₀, β₀, γ₀) и дифракционного (α, β, γ) лучей соотношениями:

a (cosα- cosα₀) = hλ,

b (cosβ - cosβ₀) = kλ, (1)

c (cosγ - cosγ₀) =lλ,

где h, k, I - целые числа (Миллеровские индексы). Для возникновения дифракционного луча необходимо выполнение приведённых условий Лауэ [уравнений (1)], которые требуют, чтобы в параллельных лучах разность хода между лучами, рассеянными атомами, отвечающими соседним узлам решётки, были равны целому числу длин волн.

В 1913 У. Л. Брэгг и одновременно с ним Г. В. Вульф предложили более наглядную трактовку возникновения дифракционных лучей в кристалле. Они показали, что любой из дифракционных лучей можно рассматривать как отражение падающего луча от одной из систем кристаллографических плоскостей (дифракционное отражение, см. Брэгга - Вульфа условие). В том же году У. Г. и У. Л. Брэгги впервые исследовали атомные структуры простейших кристаллов с помощью рентгеновских дифракционных методов. В 1916 П. Дебай и немецкий физик П. Шеррер предложили использовать дифракцию рентгеновских лучей для исследования структуры поликристаллических материалов. В 1938 французский кристаллограф А. Гинье разработал метод рентгеновского малоуглового рассеяния для исследования формы и размеров неоднородностей в веществе.

Применимость Р. с. а. к исследованию широкого класса веществ, производственная необходимость этих исследований стимулировали развитие методов расшифровки структур. В 1934 американский физик А. Патерсон предложил исследовать строение веществ с помощью функции межатомных векторов (функции Патерсона). Американские учёные Д. Харкер, Дж. Каспер (1948), У. Захариасен, Д. Сейр и английский учёный В. Кокрен (1952) заложили основы так называемых прямых методов определения кристаллических структур. Большой вклад в развитие патерсоновских и прямых методов Р. с. а. внесли Н. В. Белов, Г. С. Жданов, А. И. Китайгородский, Б. К. Вайнштейн, М. Порай-Кошиц (СССР), Л. Полинг, П. Эвальд, М. Бюргер, Дж. Карле, Г. Хауптман (США), М. Вульфсон (Великобритания) и др. Работы по исследованию пространственной структуры белка, начатые в Англии Дж. Берналом (30-е гг.) и успешно продолженные Дж. Кендрю, М. Перуцем, Д. Кроуфут-Ходжкин и др., сыграли исключительно важную роль в становлении молекулярной биологии (См. Молекулярная биология). В 1953 Дж. Уотсон и Ф. Крик предложили модель молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК), которая хорошо согласовалась с результатами рентгенографических исследований ДНК, полученными М. Уилкинсом.

В 50-х гг. начали бурно развиваться методы Р. с. а. с использованием ЭВМ в технике эксперимента и при обработке рентгеновской дифракционной информации.

Экспериментальные методы Р. с. а. Для создания условий дифракции и регистрации излучения служат рентгеновские камеры (См. Рентгеновская камера) и рентгеновские дифрактометры (См. Рентгеновский дифрактометр). Рассеянное рентгеновское излучение в них фиксируется на фотоплёнке или измеряется детекторами ядерных излучений (См. Детекторы ядерных излучений). В зависимости от состояния исследуемого образца и его свойств, а также от характера и объёма информации, которую необходимо получить, применяют различные методы Р. с. а. Монокристаллы, отбираемые для исследования атомной структуры, должны иметь размеры Рентгеновский структурный анализ 0,1 мм и по возможности обладать совершенной структурой. Исследованием дефектов в сравнительно крупных почти совершенных кристаллах занимается Рентгеновская топография, которую иногда относят к Р. с. а.

Метод Лауэ - простейший метод получения рентгенограмм от монокристаллов. Кристалл в эксперименте Лауэ неподвижен, а используемое рентгеновское излучение имеет непрерывный спектр. Расположение дифракционных пятен на лауэграммах (рис. 1) зависит от симметрии кристалла (См. Симметрия кристаллов) и его ориентации относительно падающего луча. Метод Лауэ позволяет установить принадлежность исследуемого кристалла к одной и 11 лауэвских групп симметрии и ориентировать его (т. е. определять направление кристаллографических осей) с точностью до нескольких угловых минут. По характеру пятен на лауэграммах и особенно появлению Астеризма можно выявить внутренние напряжения и некоторые др. дефекты кристаллической структуры. Методом Лауэ проверяют качество монокристаллов при выборе образца для его более полного структурного исследования.

Методы качания и вращения образца используют для определения периодов повторяемости (постоянной решётки) вдоль кристаллографического направления в монокристалле. Они позволяют, в частности, установить параметры а, b, с элементарной ячейки кристалла. В этом методе используют монохроматическое рентгеновское излучение, образец приводится в колебательное или вращательное движение вокруг оси, совпадающей с кристаллографическим направлением, вдоль которого и исследуют период повторяемости. Пятна на рентгенограммах качания и вращения, полученных в цилиндрических кассетах, располагаются на семействе параллельных линий. Расстояния между этими линиями, длина волны излучения и диаметр кассеты рентгеновской камеры позволяют вычислить искомый период повторяемости в кристалле. Условия Лауэ для дифракционных лучей в этом методе выполняются за счёт изменения углов, входящих в соотношения (1) при качании или вращении образца.

Рентгенгониометрические методы. Для полного исследования структуры монокристалла методами Р. с. а. необходимо не только установить положение, но и измерить интенсивности как можно большего числа дифракционных отражений, которые могут быть получены от кристалла при данной длине волны излучения и всех возможных ориентациях образца. Для этого дифракционную картину регистрируют на фотоплёнке в рентгеновском гониометре (См. Рентгеновский гониометр) и измеряют с помощью Микрофотометра степень почернения каждого пятна на рентгенограмме. В рентгеновском дифрактометре (См. Рентгеновский дифрактометр) можно непосредственно измерять интенсивность дифракционных отражений с помощью пропорциональных, сцинтилляционных и других счётчиков рентгеновских квантов. Чтобы иметь полный набор отражений, в рентгеновских гониометрах получают серию рентгенограмм. На каждой из них фиксируются дифракционные отражения, на миллеровские индексы которых накладывают определённые ограничения (например, на разных рентгенограммах регистрируются отражения типа hk0, hk1 и т.д.). Наиболее часто производят рентгеногониометрический эксперимент по методам Вайсенберга. Бюргера (рис. 2) и де Ионга - Боумена. Такую же информацию можно получить и с помощью рентгенограмм качания.

Для установления атомной структуры средней сложности (Рентгеновский структурный анализ 50-100 атомов в элементарной ячейке) необходимо измерить интенсивности нескольких сотен и даже тысяч дифракционных отражений. Эту весьма трудоёмкую и кропотливую работу выполняют автоматические микроденситометры и дифрактометры, управляемые ЭВМ, иногда в течение нескольких недель и даже месяцев (например, при анализе структур белков, когда число отражений возрастает до сотен тысяч). Применением в дифрактометре нескольких счётчиков, которые могут параллельно регистрировать отражения, время эксперимента удаётся значительно сократить. Дифрактометрические измерения превосходят фоторегистрацию по чувствительности и точности.

Метод исследования поликристаллов (Дебая - Шеррера метод). Металлы, сплавы, кристаллические порошки состоят из множества мелких монокристаллов данного вещества. Для их исследования используют монохроматическое излучение. Рентгенограмма (дебаеграмма) поликристаллов представляет собой несколько концентрических колец, в каждое из которых сливаются отражения от определённой системы плоскостей различно ориентированных монокристаллов. Дебаеграммы различных веществ имеют индивидуальный характер и широко используются для идентификации соединений (в том числе и в смесях). Р.с.а. поликристаллов позволяет определять фазовый состав образцов, устанавливать размеры и преимущественную ориентацию (текстурирование) зёрен в веществе, осуществлять контроль за напряжениями в образце и решать другие технические задачи.

Исследование аморфных материалов и частично упорядоченных объектов. Чёткую рентгенограмму с острыми дифракционными максимумами можно получить только при полной трёхмерной периодичности образца. Чем ниже степень упорядоченности атомного строения материала, тем более размытый, диффузный характер имеет рассеянное им рентгеновское излучение. Диаметр диффузного кольца на рентгенограмме аморфного вещества может служить для грубой оценки средних межатомных расстояний в нём. С ростом степени упорядоченности (см. Дальний порядок и ближний порядок) в строении объектов дифракционная картина усложняется и, следовательно, содержит больше структурной информации.

Метод малоуглового рассеяния позволяет изучать пространственные неоднородности вещества, размеры которых превышают межатомные расстояния, т.е. составляют от 5-10 Å до Рентгеновский структурный анализ 10 000 Å. Рассеянное рентгеновское излучение в этом случае концентрируется вблизи первичного пучка - в области малых углов рассеяния. Малоугловое рассеяние применяют для исследования пористых и мелкодисперсных материалов, сплавов и сложных биологических объектов: вирусов, клеточных мембран, хромосом. Для изолированных молекул белка и нуклеиновых кислот метод позволяет определить их форму, размеры, молекулярную массу; в вирусах - характер взаимной укладки составляющих их компонент: белка, нуклеиновых кислот, липидов; в синтетических полимерах - упаковку полимерных цепей; в порошках и сорбентах - распределение частиц и пор по размерам; в сплавах - возникновение и размеры фаз; в текстурах (в частности, в жидких кристаллах) - форму упаковки частиц (молекул) в различного рода надмолекулярные структуры. Рентгеновский малоугловой метод применяется и в промышленности при контроле процессов изготовления катализаторов, высокодисперсных углей и т.д. В зависимости от строения объекта измерения производят для углов рассеяния от долей минуты до нескольких градусов.

Определение атомной структуры по данным дифракции рентгеновских лучей. Расшифровка атомной структуры кристалла включает: установление размеров и формы его элементарной ячейки; определение принадлежности кристалла к одной из 230 федоровских (открытых Е. С. Федоровым (См. Фёдоров)) групп симметрии кристаллов (См. Симметрия кристаллов); получение координат базисных атомов структуры. Первую и частично вторую задачи можно решить методами Лауэ и качания или вращения кристалла. Окончательно установить группу симметрии и координаты базисных атомов сложных структур возможно только с помощью сложного анализа и трудоёмкой математической обработки значений интенсивностей всех дифракционных отражений от данного кристалла. Конечная цель такой обработки состоит в вычислении по экспериментальным данным значений электронной плотности ρ(х, у, z) в любой точке ячейки кристалла с координатами x, у, z. Периодичность строения кристалла позволяет записать электронную плотность в нём через Фурье ряд:

, (2)

где V - объём элементарной ячейки, F_hkl - коэффициенты Фурье, которые в Р. с. а. называются структурными амплитудами, i = . Каждая структурная амплитуда характеризуется тремя целыми числами hkl и связана с тем дифракционным отражением, которое определяется условиями (1). Назначение суммирования (2) - математически собрать дифракционные рентгеновские отражения, чтобы получить изображение атомной структуры. Производить таким образом синтез изображения в Р. с. а. приходится из-за отсутствия в природе линз для рентгеновского излучения (в оптике видимого света для этого служит собирающая линза).

Дифракционное отражение - волновой процесс. Он характеризуется амплитудой, равной ∣F_hkl∣, и фазой α_hkl (сдвигом фазы отражённой волны по отношению к падающей), через которую выражается структурная амплитуда: F_hkl =∣F_hkl ∣(cosα_hkl + isinα_hkl). Дифракционный эксперимент позволяет измерять только интенсивности отражений, пропорциональные ∣F_hkl∣², но не их фазы. Определение фаз составляет основную проблему расшифровки структуры кристалла. Определение фаз структурных амплитуд в принципиальном отношении одинаково как для кристаллов, состоящих из атомов, так и для кристаллов, состоящих из молекул. Определив координаты атомов в молекулярном кристаллическом веществе, можно выделить составляющие его молекулы и установить их размер и форму.

Легко решается задача, обратная структурной расшифровке: вычисление по известной атомной структуре структурных амплитуд, а по ним - интенсивностей дифракционных отражений. Метод проб и ошибок, исторически первый метод расшифровки структур, состоит в сопоставлении экспериментально полученных ∣F_hkl∣_эксп, с вычисленными на основе пробной модели значениями ∣F_hkl∣_выч. В зависимости от величины фактора расходимости

пробная модель принимается или отвергается. В 30-х гг. были разработаны для кристаллических структур более формальные методы, но для некристаллических объектов метод проб и ошибок по-прежнему является практически единственным средством интерпретации дифракционной картины.

Принципиально новый путь к расшифровке атомных структур монокристаллов открыло применение т. н. функций Патерсона (функций межатомных векторов). Для построения функции Патерсона некоторой структуры, состоящей из N атомов, перенесём её параллельно самой себе так, чтобы в фиксированное начало координат попал сначала первый атом. Векторы от начала координат до всех атомов структуры (включая вектор нулевой длины до первого атома) укажут положение N максимумов функции межатомных векторов, совокупность которых называется изображением структуры в атоме 1. Добавим к ним ещё N максимумов, положение которых укажет N векторов от второго атома, помещенного при параллельном переносе структуры в то же начало координат. Проделав эту процедуру со всеми N атомами (рис. 3), мы получим N² векторов. Функция, описывающая их положение, и есть функция Патерсона.

Для функции Патерсона Р (u, υ, ω) (u, υ, ω - координаты точек в пространстве межатомных векторов) можно получить выражение:

,

из которого следует, что она определяется модулями структурных амплитуд, не зависит от их фаз и, следовательно, может быть вычислена непосредственно по данным дифракционного эксперимента. Трудность интерпретации функции Р (u, υ, ω) состоит в необходимости нахождения координат N атомов из N² её максимумов, многие из которых сливаются из-за перекрытий, возникающих при построении функции межатомных векторов. Наиболее прост для расшифровки Р (u, υ, ω) случай, когда в структуре содержится один тяжёлый атом и несколько лёгких. Изображение такой структуры в тяжёлом атоме будет значительно отличаться от др. её изображений. Среди различных методик, позволяющих определить модель исследуемой структуры по функции Патерсона, наиболее эффективными оказались так называемые суперпозиционные методы, которые позволили формализовать её анализ и выполнять его на ЭВМ.

Методы функции Патерсона сталкиваются с серьёзными трудностями при исследовании структур кристаллов, состоящих из одинаковых пли близких по атомному номеру атомов. В этом случае более эффективными оказались Так называемые прямые методы определения фаз структурных амплитуд. Учитывая тот факт, что значение электронной плотности в кристалле всегда положительно (или равно нулю), можно получить большое число неравенств, которым подчиняются коэффициенты Фурье (структурные амплитуды) функции ρ(x, у, z). Методами неравенств можно сравнительно просто анализировать структуры, содержащие до 20-40 атомов в элементарной ячейке кристалла. Для более сложных структур применяются методы, основанные на вероятностном подходе к проблеме: структурные амплитуды и их фазы рассматриваются как случайные величины; из физических представлений выводятся функции распределения этих случайных величин, которые дают возможность оценить с учётом экспериментальных значений модулей структурных амплитуд наиболее вероятные значения фаз. Эти методы также реализованы на ЭВМ и позволяют расшифровать структуры, содержащие 100-200 и более атомов в элементарной ячейке кристалла.

Итак, если фазы структурных амплитуд установлены, то по (2) может быть вычислено распределение электронной плотности в кристалле, максимумы этого распределения соответствуют положению атомов в структуре (рис. 4). Заключительное уточнение координат атомов проводится на ЭВМ Наименьших квадратов методом и в зависимости от качества эксперимента и сложности структуры позволяет получить их с точностью до тысячных долей Å (с помощью современного дифракционного эксперимента можно вычислять также количественные характеристики тепловых колебаний атомов в кристалле с учётом анизотропии этих колебаний). Р. с. а. даёт возможность установить и более тонкие характеристики атомных структур, например распределение валентных электронов в кристалле. Однако эта сложная задача решена пока только для простейших структур. Весьма перспективно для этой цели сочетание нейтронографических и рентгенографических исследований: нейтронографические данные о координатах ядер атомов сопоставляют с распределением в пространстве электронного облака, полученным с помощью Р. с. а. Для решения многих физических и химических задач совместно используют рентгеноструктурные исследования и резонансные методы.

Вершина достижений Р. с. а. - расшифровка трёхмерной структуры белков, нуклеиновых кислот и других макромолекул. Белки в естественных условиях, как правило, кристаллов не образуют. Чтобы добиться регулярного расположения белковых молекул, белки кристаллизуют и затем исследуют их структуру. Фазы структурных амплитуд белковых кристаллов можно определить только в результате совместных усилий рентгенографов и биохимиков. Для решения этой проблемы необходимо получить и исследовать кристаллы самого белка, а также его производных с включением тяжёлых атомов, причём координаты атомов во всех этих структурах должны совпадать.

О многочисленных применениях методов Р. с. а. для исследования различных нарушений структуры твёрдых тел под влиянием всевозможных воздействий см. в ст. Рентгенография материалов.

Лит.: Белов Н. В., Структурная кристаллография, М., 1951; Жданов Г. С., Основы рентгеноструктурного анализа, М. - Л., 1940; Джеймс Р., Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей, пер. с англ., М., 1950; Бокий Г. Б., Порай-Кошиц М. А., Рентгеноструктурный анализ, М., 1964; Порай-Кошиц М. А., Практический курс рентгеноструктурного анализа, М., 1960: Китайгородский А. И., Теория структурного анализа, М., 1957; Липеон Г., Кокрен В., Определение структуры кристаллов, пер. с англ., М., 1961; Вайнштейн Б. К., Структурная электронография, М., 1956; Бэкон Дж., Дифракция нейтронов, пер. с англ., М., 1957; Бюргер М., Структура кристаллов и векторное пространство, пер. с англ., М., 1961; Гинье А., Рентгенография кристаллов, пер. с франц., М., 1961; Woolfson М. М., An introduction to X-ray crystallography, Camb., 1970: Ramachandran G. N., Srinivasan R., Fourier methode in crystallography, N. Y., 1970; Crystallographic computing, ed. F. R. Ahmed, Cph., 1970; Stout G. H., Jensen L. H., X-ray structure determination, N. Y. - L., [1968].

В. И. Симонов.

Рис. 1. Лауэграмма монокристалла NaCI. Каждое пятно представляет собой след рентгеновского дифракционного отражения. Диффузные радиальные пятна в центре вызваны рассеянием рентгеновских лучей на тепловых колебаниях кристаллической решётки.

Рис. 2. Рентгенограмма кристалла миоглобина.

Рис. 3. Схема построения функции Патерсона для структуры, состоящей из 3 атомов.

Рис. 9. а. Проекция на плоскость ab функции межатомных векторов минерала баотита [BA₄Ti₄ (Ti, Nb)₄ [Si₄O₁₂] O₁₆Cl]. Линии проведены через одинаковые интервалы значений функции межатомных векторов (линии равного уровня). б. Проекция электронной плотности баотита на плоскость ab, полученная расшифровкой функции межатомных векторов (a). Максимумы электронной плотности (сгущения линий равного уровня) отвечают положениям атомов в структуре. в. Изображение модели атомной структуры баотита. Каждый атом Si расположен внутри тетраэдра, образованного четырьмя атомами O; атомы Ti и Nb - в октаэдрах, составленных атомами O. Тетраэдры SiO₄ и октаэдры Ti(Nb)O₆ в структуре баотита соединены, как показано на рисунке. Часть элементарной ячейки кристалла, соответствующая рис. а и б, выделена штриховой линией. Точечные линии на рис. а и б определяют нулевые уровни значений соответствующих функций.

то же, что Рентгеновский структурный анализ.

КРИСТАЛЛОГР'АФИЯ, см. КРИСТАЛОГРАФИЯ
.

свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

На рис. 1, а изображен кристалл Кварца. Внешняя его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещен сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, б) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство). Т. о., симметрия означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой. Если F (x₁, x₂, x₃) - функция, описывающая объект, например форму кристалла в трёхмерном пространстве или какое-либо его свойство, а операция g [x₁, x₂, x₃] осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом, если выполняются условия:

g [x₁,. x₂, x₃] = x'₁, x'₂, x'₃ (1, a)

F (x₁, x₂, x₃) = F (x₂, x₂, x₃). (1, б)

В наиболее общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классическая теория С. к. - теория симметрических преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутренняя атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как Кристаллическая решётка. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла в импульсном пространстве (см. Твёрдое тело), при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей (См. Дифракция рентгеновских лучей) в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой нс только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция g₁), ной при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g₂), а также при поворотах на 180° вокруг осей 2x, 2y, 2w (операции g₃, g₄ и g₅). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен геометрический образ - элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 1, б) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии [g₁,..., g_n] данного кристалла образует группу симметрии G в смысле математической теории групп (См. Группа). Последовательное проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g₀, ничего не изменяющая в кристалле, называется отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, называется порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу n измерений пространства, в которых они определены; по числу т измерений пространства, в которых объект периодичен (их соответственно обозначают G_mⁿ) и по некоторым другим признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы (См. Пространственная группа) симметрии G₃³, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы (См. Точечная группа) симметрии G₀³, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами.

Симметрия огранки кристаллов. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на 360°/N (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис. 2, б), инверсия l̅(симметрия относительно точки, рис. 2, в), инверсионные повороты (комбинация поворота на 360°/N с одновременной инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты . Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу (рис. 3), которые изображаются обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

Точечные преобразования симметрии g [x₁, x₂, x₃] = x'₁, x'₂, x'₃ описываются линейными уравнениями:

x'₁ = а₁₁х₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x'₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃, (2)

x'₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃,

т. е. матрицей коэффициента (a_ij). Например, при повороте вокруг хз на угол α = 360°/N матрица коэффициентов имеет вид:

, (3)

а при отражении в плоскости x₁, x₂ имеет вид:

(3a)

Поскольку N может быть любым, число групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси: l̅ (она же центр симметрии), = m (она же плоскость симметрии), . Поэтому количество точечных кристаллографических групп, описывающих внешнюю форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, b, с и углами α, β, γ) в 7 сингоний кристаллографических (См. Сингония кристаллографическая) - триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр) или рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ).

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы называются группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы называются группами 2-го рода. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах, условно называемых "правой" и "левой", каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу (см. Энантиоморфизм, Кварц).

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещенная в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов (См. Вирусы) (рис. 4), в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

Симметрия физических свойств. Предельные группы. В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др.), кристаллы ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла, однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия). Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства (рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла (векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше её по симметрии (принцип Неймана).

Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ∞. Наличие оси ∞ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы, Кристаллофизика).

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| Сингония | Обозначения | Название | Соотношение |

| | | | констант эле- |

| |----------------------------------------------------| | |

| | международные | по Шенфлису | | ментарной |

| | | | | ячейки |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Триклинная | | С₁ | Моноэдрическая | а ≠ b ≠ с |

| |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| | | С₁ | Пинакоидальная | α ≠ β ≠ γ ≠ 90° |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Моноклинная | 2 | С₂ | Диэдрическая осевая | а ≠ b ≠ с |

| |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| | m | Cs | Диэдрическая безосная | α = γ = 90° |

| |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| | 2/m | C_2h | Призматическая | β ≠ 90° |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Ромбическая | 222 | D₂ | Ромбо-тетраэдрическая | а ≠ b ≠ с |

| |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| | mm | C₂υ | Ромбо-пирамидальная | |

| |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| | mmm | D_2h | Ромбо-дипирамидальная | α = β = γ = 90° |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Тетрагональная | 4 | C₄ | Тетрагонально- | а = b ≠ с |

| | | | пирамидальная | α = β = γ = 90° |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 422 | D₄ | Тетрагонально- | |

| | | | трапецоэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 4/m | C_4h | Тетрагонально- | |

| | | | дипирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 4mm | C_4υ | Дитетрагонально- | |

| | | | пирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 4/mmm | D_4h | Дитетрагонально- | |

| | | | дипирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | | S₄ | Тетрагонально- | |

| | | | тетраэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | | D_2d | Тетрагонально- | |

| | | | скаленоэдрическая | |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Тригональная | 3 | C₃ | Тригонально- | а = b = с |

| | | | пирамидальная | α = β = γ ≠ 90° |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 32 | D₃ | Тригонально- | |

| | | | трапецоэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 3m | C_3υ | Дитригонально- | |

| | | | пирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | | C_3i | Ромбоэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | | D_3d | Дитригонально- | |

| | | | скаленоэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | | C_3h | Тригонально- | |

| | | | дипирамидальная | |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Гексагональная | | D_3h | Дитригонально- | а = b ≠ с |

| | | | дипирамидальная | α = β = 90° |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| γ = 120° |

| | 6 | C₆ | Гексагонально- | |

| | | | пирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 62 | D₆ | Гексагонально- | |

| | | | трапецоэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 6/m | C_6h | Гексагонально- | |

| | | | дипирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 6mm | C_6υ | Дигексагонально- | |

| | | | пирамидальная | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 6/mmm | D_6h | Дигексагонально- | |

| | | | дипирамидальная | |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Кубическая | 23 | T | Тритетраэдрическая | а = b = с |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| α = β = γ = 90° |

| | m3 | T_h | Дидодекаэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | | T_d | Гексатетраэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | 43 | O | Триоктаэдрическая | |

| |-----------------------------------------------------------------------------------------------| |

| | m3m | Oh | Гексоктаэдрическая | |

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов (кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии G₃³. Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы a₁, b₂, c₃ или любой вектор t = p₁a₁ + p₂b₂ + p₃c₃, где p₁, p₂, p₃ - любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (1, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а, b и c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла (рис. 7, а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, "размножение" которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеновского структурного анализа (См. Рентгеновский структурный анализ), электронографии (См. Электронография) или нейтронографии (См. Нейтронография).

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G₃³ возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д).

Всего известно 230 пространственных (фёдоровских) групп симметрии G₃³, и любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп G₃³ макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например, точечной группе mmm или D_2h сходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решётка; таких решёток существует 14.

Симметрия слоев и цепей. Для описания плоских или вытянутых в одном направлении фрагментов структуры кристаллов могут быть использованы группы G₂³ - двумерно периодические и G₁³ - одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биологических структур и молекул. Например, группы G₂³ описывают строение биологических мембран (См. Мембраны биологические), группы G₁³ - цепных молекул (рис. 8, а) палочкообразных вирусов (См. Вирусы), трубчатых кристаллов глобулярных белков (См. Белки) (рис. 8, б), в которых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах G₁³.

Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1, б) при преобразовании (1, а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле Антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магнитных моментов (рис. 9), то "обычной", классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относится антисимметрия и цветная симметрия. В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным x₁, x₂, x₃ вводится добавочная, 4-я переменная x₄ = ± 1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1, а) функция F может быть не только равна себе, как в (1, б), но и изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета (рис. 10). Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии (шубниковских групп). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а несколько (возможны числа 3, 4, 6, 8,..., 48), то возникает "цветная" симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G₀^{3, ц}. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магнитных структур.

Др. обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 11), криволинейная симметрия, статистическая симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов (См. Твёрдые растворы), жидких кристаллов (См. Жидкие кристаллы), и др.

Лит.: Шубников А. В., Копцик В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Федоров Е. С.. Симметрия и структура кристаллов, [М.], 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951.

Б. К. Вайнштейн.

Рис. 4. Cферический вирус (электронно-микроскопический снимок, увеличено).

Рис. 1. а - кристалл кварца: 3 - ось симметрии 3-го порядка, 2x ,2y, 2w - оси второго порядка; б - кристалл водного метасиликата натрия: m - плоскость симметрии.

Рис. 2. Простейшие операции симметрии: а - поворот; б - отражение; в - инверсия; г - скользящее отражение; д - винтовой поворот 4-го порядка.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам или кристаллографическим классам: а - к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу с (один центр симметрии); в - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу 6 (одна зеркальная ось 6-го порядка).

Рис. 5. Поверхность, описывающая оптическую активность кристалла кварца; знаки (+) и (-) указывают противоположные направления вращения плоскости поляризации.

Рис. 6. Фигуры, иллюстрирующие предельные группы симметрии.

Рис. 7. Элементарные ячейки кристаллов: а - K₂PtCl₆; б - CuCl₂․2H₂O.

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронномикроскопический снимок, увеличено).

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке кристалла Cr₂O₃.

Рис. 10. Фигура, описываемая точечной группой антисимметрии.

Рис. 11. Фигура, обладающая симметрией подобия.

наука о кристаллах и кристаллическом состоянии вещества. Изучает симметрию, строение, образование и свойства кристаллов. К. зародилась в древности в связи с наблюдениями над природными кристаллами, имеющими естественную форму правильных многогранников. К. как самостоятельная наука существует с середины 18 в. В 18-19 вв. К. развивалась в тесной связи с минералогией как дисциплина, устанавливающая закономерности огранки кристаллов (Р. Аюи, 1784). Была развита теория симметрии кристаллов - их внешних форм (А. В. Гадолин, 1867) и внутреннего пространственного строения (Е. С. Федоров (См. Фёдоров), 1890; А. Шёнфлис, 1891). Совокупность методов описания кристаллов и установленные закономерности составляют содержание геометрической К.

На основе геометрической К. возникла гипотеза об упорядоченном, трёхмерно-периодическом расположении в кристалле составляющих его частиц, в современном понимании - атомов и молекул, которые образуют кристаллическую решётку (См. Кристаллическая решётка). Открытие дифракции рентгеновских лучей (См. Дифракция рентгеновских лучей) в кристаллах экспериментально подтвердило их периодическое решётчатое строение. Первые конкретные рентгенографические расшифровки атомной структуры кристаллов (NaCl, Алмаз, ZnS и др.) были осуществлены начиная с 1913 У. Г. Брэггом и У. Л. Брэггом. Изучение прохождения света через кристаллы (см. Кристаллооптика) позволило сформулировать закономерности анизотропии (неравноценности по направлениям) свойств кристаллов.

Крупный вклад в изучение атомной структуры кристаллов сделан Л. Полингом, Д. Кроуфут-Ходжкин, Н. В. Беловым, А. Гинье; в исследование роста кристаллов и их физических свойств - В. Фохтом. И. Н. Странским, А. В. Шубниковым, И. В. Обреимовым.

Современная К. развивается как одна из областей физики, тесно связанная с химией и минералогией и имеющая широкое техническое применение. Основами её математического аппарата являются теория групп симметрии кристаллов (См. Симметрия кристаллов) и Тензорное исчисление.

Существует Международный союз кристаллографов, органом которого является журнал "Acta Crystallographica". Союз кристаллографов с 1940 издал более 30 томов "Структурного справочника" ("Structure Report"). В СССР издаётся журнал "Кристаллография".

Структурная К. исследует атомно-молекулярное строение кристаллов с помощью рентгеноструктурного анализа (См. Рентгеноструктурный анализ), электронографии (См. Электронография), нейтронографии (См. Нейтронография), опирающихся на теорию дифракции (См. Дифракция) волн в кристаллах. Используются также методы оптической спектроскопии, в том числе инфракрасной спектроскопии (См. Инфракрасная спектроскопия), ядерного магнитного резонанса (См. Ядерный магнитный резонанс), электронного парамагнитного резонанса (См. Электронный парамагнитный резонанс) и т. д. Изучена кристаллическая структура более 20 тыс. химических веществ. Законы взаимного расположения атомов и химической связи (См. Химическая связь) между ними в кристаллах, их Изоморфизма и Полиморфизма являются предметом кристаллохимии (См. Кристаллохимия). Изучение биологических кристаллов позволило определить структуру гигантских молекул белков (См. Белки) и нуклеиновых кислот (См. Нуклеиновые кислоты) и явилось важным вкладом К. в молекулярную биологию (См. Молекулярная биология).

Важный раздел К. - теория и экспериментальные исследования процессов зарождения и роста кристаллов. Здесь К. использует общие принципы термодинамики (См. Термодинамика) и закономерности фазовых переходов (См. Фазовый переход) и поверхностных явлений с учётом взаимодействия кристалла со средой, анизотропии свойств и атомно-молекулярной структуры кристаллического вещества (см. Кристаллизация). Как самостоятельный раздел развивается К. реального кристалла, изучающая разнообразные нарушения идеальной кристаллической решётки - точечные дефекты, Дислокации и др. Дефекты в кристаллах, возникающие при росте кристаллов или разнообразных воздействиях на них и определяющие многие их свойства.

Исследования механических, оптических, электрических и магнитных свойств кристаллов являются предметом кристаллофизики (См. Кристаллофизика), которая смыкает К. с физикой твёрдого тела (См. Твёрдое тело). Для кристаллофизики существенным является рассмотрение свойств кристалла в связи с его симметрией и изменений свойств при внешних воздействиях. Уникальность свойств многих кристаллов и их чувствительность к механическим и акустическим воздействиям, изменениям температуры, чувствительность к электрическому току, электромагнитным полям, различным излучениям и т. п. дали кристаллографическим исследованиям широкий выход в радиотехнику, полупроводниковую электронику и квантовую электронику (См. Квантовая электроника), техническую оптику и акустику, обработку материалов, приборостроение. В связи с этим возникло и интенсивно развивается производство синтетических кристаллов - Кварца, алмаза, Германия, кремния (См. Кремний), Рубина и др.

К. изучает также строение и свойства разнообразных агрегатов из микрокристаллов - Поликристаллов, текстур (См. Текстура), керамик (См. Керамика), а также веществ с атомной упорядоченностью, близкой к кристаллической - жидких кристаллов (См. Жидкие кристаллы), полимеров (См. Полимеры). Симметрийные и структурные закономерности, изучаемые К., находят применение в рассмотрении общих закономерностей строения и свойств конденсированного состояния вещества вообще: аморфных тел и жидкостей, полимеров, биологических макромолекул, надмолекулярных структур и т. п. (обобщённая К.).

Лит.: Шубников А. В., Флинт Е. Е., Бокий Г. Б., Основы кристаллографии, М.- Л., 1940; Попов Г. М., Шафрановский И. И., Кристаллография, 4 изд., М., 1964; Белов Н. В., Структурная кристаллография, М., 1951; Бернал Дж. Д., Карлайл С. Х., Поля охвата обобщённой кристаллографии. (Обзор). "Кристаллография", 1968, т. 13, № 5; Вайнштейн Б. К., Кристаллография и научно-технический прогресс, там же, 1971, т. 16, в. 2, с. 261.

М. П. Шаскольская.

научный журнал АН СССР, публикующий статьи по проблемам атомной структуры, роста, свойств кристаллов и др. вопросам кристаллографии. Основан в 1956, издаётся в Москве. Ежегодно выходит один том, состоящий из 6 номеров (выпусков). Тираж устанавливается для каждого номера и колеблется в пределах от 1300 до 1700 экземпляров. С 1957 переводится в США на английский язык и выходит под названием "Soviet Physics Crystallography".